数理物理学

物理学，工学，生物学などにあらわれる数学的諸問題をおもに，解析学，幾何学などによる数学的手法を用いて研究します。特に，関数解析学，発展方程式論，非線形偏微分方程式論，実関数論，変分法に関する基礎知識は重要であり，物理学の基礎知識も必要です。研究の対象となる非線形現象は多岐にわたります。非線形偏微分方程式に限れば，放物型方程式（ナビエ・ストークス方程式，非線形熱方程式， 平均曲率流方程式，ベルマン・アイザックス方程式），双曲型方程式（非線形クライン・ゴルドン方程式，圧縮性流体方程式），分散型方程式（KdV 型方程式，非線形シュレディンガー方程式），及びこれらの定常状態を記述する非線形楕円方程式，さらにこれらが複雑に連立した混合型方程式（ザハロフ方程式，デイビー・スチュワートソン方程式, 平均場ゲーム）などがあります。これらの方程式に対して，解の存在，非存在，一意性，多重性，正則性，解析性，特異性，対称性，周期性，概周期性，漸近挙動，安定性などが，その典型的な研究テーマです。

Mathematical problems arising in physics, engineering, biology, and other fields are studied mainly by using analysis, geometry, and other mathematical areas. In particular, basic knowledge of functional analysis, evolution equations, nonlinear partial differential equations, real analysis, and variational methods is important, and basic knowledge of physics is also required. The nonlinear phenomena to be studied are diverse. As far as nonlinear partial differential equations are concerned, there are parabolic equations (Navier-Stokes equations, nonlinear heat equation, mean curvature flow equation, Bellman-Isaacs equation), hyperbolic equations (nonlinear Klein-Gordon equation, compressible fluid equation), distributed equations (KdV equation, nonlinear Schrödinger equation), and nonlinear elliptic equations describing their steady states. In addition, there are mixed-type equations (Zakharov equations, Davey-Stewartson equations, mean field games), which are systems of these equations. Typical research topics for these equations are existence, non-existence, uniqueness, multiplicity, regularity, analyticity, singularity, symmetry, periodicity, almost periodicity, asymptotic behavior, and stability of the solutions.